切片，\(\Large \displaystyle \hat{a_0} \)，の推定
次に，\(\Large \displaystyle \hat{a_0} \)，の推定です．まずは前頁から，
\(\Large \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \hat{a_0} + \sum_{i=1}^{n} \hat{a_1}X_i = \sum_{i=1}^{n} Y_i \)
\(\Large \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \hat{a_0} X_i + \sum_{i=1}^{n} \hat{a_1}X_i^2 =\sum_{i=1}^{n} X_i Y_i \)
から，
\(\Large \displaystyle n \hat{a_0} + \hat{a_1} \sum_{i=1}^{n} X_i = \sum_{i=1}^{n} Y_i \)
\(\Large \displaystyle \hat{a_0} \sum_{i=1}^{n} X_i + \hat{a_1} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 =\sum_{i=1}^{n} X_i Y_i \)
として，\(\Large \displaystyle \hat{a_1} \)，を消去しましょう．
\(\Large \displaystyle n \hat{a_0} \sum_{i=1}^{n} X_i^2+ \hat{a_1} \sum_{i=1}^{n} X_i \sum_{i=1}^{n} X_i^2= \sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sum_{i=1}^{n} Y_i \)
\(\Large \displaystyle \hat{a_0} \sum_{i=1}^{n} X_i \sum_{i=1}^{n} X_i + \hat{a_1} \sum_{i=1}^{n} X_i \sum_{i=1}^{n} X_i^2 =\sum_{i=1}^{n} X_i \sum_{i=1}^{n} X_i Y_i \)
両辺を引けば，
\(\Large \displaystyle \hat{a_0} \left\{ \left(\sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 - n \sum_{i=1}^{n} X_i^2 \right\} = \sum_{i=1}^{n} X_i \sum_{i=1}^{n} X_i Y_i - \sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sum_{i=1}^{n} Y_i \)
\(\Large \displaystyle \hat{a_0} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sum_{i=1}^{n} Y_i - \sum_{i=1}^{n} X_i \sum_{i=1}^{n} X_i Y_i }{ n \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - \left(\sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 } \)
と表すことができます．ただ，ちょっとややこしいので少し整理してみましょう．
\(\Large \displaystyle \hat{a_0} = \frac{ \bar{Y} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - \bar{X} \sum_{i=1}^{n} X_i Y_i }{ \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - n \bar{X}^2} \)
ここで分子にちょっと呼ぶなものを加えて（トータル０になるので問題なし）
\(\Large \begin{eqnarray} \displaystyle \hat{a_0}
&=& \frac{ \bar{Y} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - \bar{X} \sum_{i=1}^{n} X_i Y_i + n \bar{X}^2 \bar{Y} - n \bar{X}^2 \bar{Y}}{ \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - n \bar{X}^2} \\
&=&
\frac{ \bar{Y} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - n \bar{X}^2 \bar{Y} - \left( \bar{X} \sum_{i=1}^{n} X_i Y_i - n \bar{X}^2 \bar{Y} \right) }{ \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - n \bar{X}^2} \\
&=&
\frac{ \bar{Y} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - n \bar{X}^2 \right) - \bar{X} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i Y_i - n \bar{X} \bar{Y} \right) }{ \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - n \bar{X}^2} \\
\end{eqnarray} \)
分子第一項の括弧は分母と同じなので，
\(\Large \color{red}{\displaystyle \hat{a_0} = \bar{Y} - \frac{ \left( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} X_i Y_i - n \bar{X} \bar{Y} \right) }{ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - n \bar{X}^2} \bar{X}} \)
となります．ここで，，\(\Large \hat{a_1} \)は，
\(\Large \displaystyle \hat{a_1} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i Y_i - n \bar{X} \bar{Y}}{\sum_{i=1}^{n} X_i^2 - n \bar{X}^2} \)
となりますので，右辺第二項の分数と一致するので，
\(\Large \color{red}{\displaystyle \hat{a_0} = \bar{Y} - \hat{a_1} \bar{X}} \)
となります．これは，前ページにあるように，
\(\Large \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left( Y_i - \hat{a_0} - \hat{a_1}X_i \right) =0 \)
と同じことを示します．
次ページに，実際に数値を入れて確認してみましょう．